Question

【题目】我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直角坐标系如图①所示（图②是备用图），如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．

（1）求C1和C2的解析式；

（2）如果炒菜时锅的水位高度是1dm，求此时水面的直径；

（3）如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3），抛物线C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）；（2）2dm；（3）锅盖能正常盖上，理由见解析.

【解析】试题分析：（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式；
（2）炒菜锅里的水位高度为1dm即y=-2，列方程求得x的值即可得答案；
（3）底面直径为3dm、高度为3dm圆柱形器皿能否放入锅内，需判断当x=时，C1和C2中的y值的差与3比较大小，从而可得答案．

解：（1）由于抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），可设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）；

抛物线C1还经过D（0，﹣3），

则有：﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得：a=

即：抛物线C1：y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）；

抛物线C2还经过C（0，1），

则有：1=a（0﹣3）（0+3），解得：a=﹣

即：抛物线C2：y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）．

（2）当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=﹣2，即x2﹣3=﹣2，

解得：x=±，

∴此时水面的直径为2dm．

（3）锅盖能正常盖上，理由如下：

当x=时，抛物线C1：y=×（）2﹣3=﹣，抛物线C2：y=﹣×（）2+1=，

而﹣（﹣）=3，

∴锅盖能正常盖上.