题目内容

【题目】已知AB是半径为1的圆O直径,C是圆上一点,D是BC延长线上一点,过点D的直线交AC于E点,且△AEF为等边三角形

(1)求证:△DFB是等腰三角形;

(2)若DA=AF,求证:CFAB.

【答案】(1)△DFB是等腰三角形 (2)见解析

【解析】(1)由AB是⊙O直径,得到∠ACB=90°,由于△AEF为等边三角形,得到∠CAB=∠EFA=60°,根据三角形的外角的性质即可得到结论;

(2)过点A作AM⊥DF于点M,设AF=2a,根据等边三角形的性质得到FM=EN=a,AM=a,在根据已知条件得到AB=AF+BF=8a,根据直角三角形的性质得到AE=EF=AF=CE=2a,推出∠ECF=∠EFC,根据三角形的内角和即可得到结论.

解:(1)∵AB是⊙O直径,

∴∠ACB=90°,

∵△AEF为等边三角形,

∴∠CAB=∠EFA=60°,

∴∠B=30°,

∵∠EFA=∠B+∠FDB,

∴∠B=∠FDB=30°,

∴△DFB是等腰三角形;

(2)过点A作AM⊥DF于点M,设AF=2a

∵△AEF是等边三角形,∴FM=EN=a,AM=a,

在Rt△DAM中,AD=AF=2a,AM=

∴DM=5a,∴DF=BF=6a

∴AB=AF+BF=8a

在Rt△ABC中,∠B=30°,∠ACB=90°,∴AC=4a

∵AE=EF=AF=CE=2a,∴∠ECF=∠EFC,

∵∠AEF=∠ECF+∠EFC=60°,∴∠CFE=30°,

∴∠AFC=∠AFE+∠EFC=60°+30°=90°,

∴CF⊥AB.

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