题目内容

(1)求直线AC的解析式;
(2)若EC⊥AC于C,交x轴于点E,连接AE,求直线AE的解析式;
(3)求证:∠BAC=∠CAE.
分析:(1)根据正方形的性质即可求得点A、C的坐标,然后将点A、C的坐标分别代入直线AC的解析式y=kx+b(k≠0),列出关于k、b的方程组,通过解方程组来求k、b的值;
(2)通过相似三角形(△ABC∽△CDE)的对应边成比例得到
=
,由该比例式可以求得线段DE的长度,则易求点E的坐标,所以理应待定系数法可以求得直线AE的解析式;
(3)首先,根据直线AC的解析式求得点F的坐标F(4,0),则OF=4.然后,根据勾股定理、线段间的和差关系求得AE=EF;最后,由等腰△AEF的性质推知∠1=∠3,平行线AB∥OF的性质推知∠2=∠3,等量代换证得结论.
(2)通过相似三角形(△ABC∽△CDE)的对应边成比例得到
AB |
CD |
BC |
DE |
(3)首先,根据直线AC的解析式求得点F的坐标F(4,0),则OF=4.然后,根据勾股定理、线段间的和差关系求得AE=EF;最后,由等腰△AEF的性质推知∠1=∠3,平行线AB∥OF的性质推知∠2=∠3,等量代换证得结论.
解答:解:(1)由题意知A(0,2),C(2,1),设直线AC为y=kx+b(k≠0).则
,
解得,
,
∴直线AC的解析式为:y=-
x+2;
(2)设直线AE的解析式为:y=ax+t(a≠0).
∵如图,EC⊥AC,
∴∠ACE=90°,
∴∠ACB=∠CED(同角的余角相等).
又∵∠B=∠CDE,
∴△ABC∽△CDE,
∴
=
,即
=
,∴DE=
,则E(
,0).
又∵A(0,2),
∴
,
解得,
,
∴直线AE的解析式是y=-
x+2;
(3)证明:如图,设直线AC交x轴与F.
∵由(1)知,直线AC的解析式为y=-
x+2,则F(4,0).∴OF=4.
又∵A(0,2),E(
,0),
∴AE=EC=
,
∵EC⊥AC,
∴AE=EF,
∴∠1=∠3.
又∵AB∥OF,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,即∠BAC=∠CAE.
|
解得,
|
∴直线AC的解析式为:y=-
1 |
2 |
(2)设直线AE的解析式为:y=ax+t(a≠0).
∵如图,EC⊥AC,
∴∠ACE=90°,
∴∠ACB=∠CED(同角的余角相等).
又∵∠B=∠CDE,
∴△ABC∽△CDE,
∴
AB |
CD |
BC |
DE |
2 |
1 |
1 |
DE |
1 |
2 |
3 |
2 |
又∵A(0,2),
∴
|
解得,
|

∴直线AE的解析式是y=-
4 |
3 |
(3)证明:如图,设直线AC交x轴与F.
∵由(1)知,直线AC的解析式为y=-
1 |
2 |
又∵A(0,2),E(
3 |
2 |
∴AE=EC=
5 |
2 |
∵EC⊥AC,
∴AE=EF,
∴∠1=∠3.
又∵AB∥OF,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,即∠BAC=∠CAE.
点评:本题考查了待定系数法求一次函数解析式,等腰三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质.解答(3)题时,也可以利用全等三角形的判定与性质进行证明.

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