Question

【题目】如图,直线y=2x+2与y轴交于A点,与反比例函数y=(x>0)的图象交于点M,过M作MH⊥x轴于点H,且tan∠AHO=2.

(1)求k的值;

(2)在y轴上是否存在点B,使以点B、A、H、M为顶点的四边形是平行四边形?如果存在,求出B点坐标;如果不存在,请说明理由;

(3)点N(a,1)是反比例函数y=(x>0)图象上的点,在x轴上有一点P,使得PM+PN最小,请求出点P的坐标.

Answer 1

【答案】(1)4;(2)见解析.

【解析】分析：（1）对于y=2x+2，令x=0求出y的值，确定出A的坐标，得到OA的长，根据tan∠AHO的值，利用锐角三角函数定义求出OH的长，根据MH垂直于x轴，确定出M横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，确定出M的坐标，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）存在，理由为：如图所示，分两种情况考虑：当四边形P1AHM为平行四边形时；当四边形AP2HM为平行四边形时，利用平行四边形的性质确定出P的坐标即可；
（3）把M坐标代入反比例解析式求出a的值，确定出N坐标，过点N作N关于x轴的对称点N1，连接MN1，交x轴于P，此时PM+PN最小，利用待定系数法确定出直线MN1的解析式，即可确定出P的坐标．

详解：(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2,

∵tan∠AHO=2,

∴OH=1.

∵MH⊥x轴,

∴点M的横坐标为1.

∵点M在直线y=2x+2上,

∴点M的纵坐标为4,∴M(1,4).

∵点M在反比例函数y=(x>0)的图象上,

∴k=1×4=4.

(2)存在,如图所示:

当四边形B1AHM为平行四边形时,B1A=MH=4,

∴B1A+AO=4+2=6,即B1(0,6).

当四边形AB2HM为平行四边形时,MH=AB2=4,

∴OB2=AB2-OA=4-2=2,此时B2(0,-2),

综上,存在满足条件的点B,且B点坐标为(0,6)或(0,-2).　

(3)∵点N(a,1)在反比例函数y=(x>0)的图象上,

∴a=4,即点N的坐标为(4,1).

过点N作N关于x轴的对称点N1,连接MN1,交x轴于P,此时PM+PN最小.

∵N与N1关于x轴对称,N点坐标为(4,1),

∴N1的坐标为(4,-1).

设直线MN1的解析式为y=kx+b(k≠0),

由解得

∴直线MN1的解析式为y=-x+.

令y=0,得x=,

∴P点坐标为.