Question

如图，已知△ABC是等边三角形，边长为10，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD=BE=CF，
（1）设AD为x，△ADF的面积为y，当x为何值时，△ADF的面积最大，最大面积是多少？
（2）当x为何值时，△ADF是直角三角形？

Answer 1

分析：（1）过F作AB的垂线，垂足为H，可得FH=AF×sin60°=（10-x）×

3

2

，△ADF的面积为y=-

3

4

x2+5x，根据二次函数的最值公式，即可求出当x为何值时，△ADF的面积最大值；
（2）①△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，则FD²+AD²=AF²，②△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，则FD²+AF²=AD²，根据勾股定理列方程，解答出即可．

解答：解：（1）∵AD为x，AD=BE=CF，
∴AF=10-x，
过F作AB的垂线，垂足为H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，则FH=AF×sin60°=（10-x）×

3

2

，
∴y=

1

2

×x×（10-x）×

3

2

=-

3

4

x2+

5 3

2

x，
∴x=-

b

2a

=

5 3 2

2× 3 4

=5，
y=

4ac-b2

4a

=

0-( 5 3 2 )2

4×(- 3 4 )

=

25 3

4

，
综上，当x=5，△ADF的面积最大，最大面积是

25 3

4

；

（2）①如果△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，根据勾股定理的逆定理得：FD²+AD²=AF²，
则[(10-x)×

3

2

]2+x²=（10-x）²，
解得：x₁=-10（舍去），x₂=

10

3

；
②如果△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，根据勾股定理的逆定理得：FD²+AF²=AD²，
则[

3

2

x]2+（10-x）²=x²，
解得，x₁=20（舍去），x₂=

20

3

；
综上，当x=

10

3

或

20

3

时，△ADF是直角三角形．

点评：本题主要考查了二次函数的最值、等边三角形的性质及勾股定理等知识，注意（2）中分两种情况讨论解答．