题目内容
【题目】如图,边长为4cm的等边△ABC中,点P、Q分别是边AB、BC上的动点(端点除外),点P从顶点A,点Q从顶点B同时出发,且它们的速度都为1cm/s,连接AQ,CP交于点M,在点P,Q运动的过程中.
(1)求证:△ABQ≌△CAP;
(2)∠QMC的大小是否发生变化?若无变化,求∠QMC的度数;若有变化,请说明理由;
(3)连接PQ,当点P,Q运动多少秒时,△PBQ是直角三角形?
【答案】
(1)
证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠ABQ=∠CAP=60°,AB=CA,
∵点P、Q的速度相同,
∴AP=BQ,
在△ABQ和△CAP中,
,
∴△ABQ≌△CAP
(2)
解:∠QMC的大小不发生变化,
∵△ABQ≌△CAP,
∴∠BAQ=∠ACP,
∴∠QMC=∠QAC+∠ACP=∠QAC+∠BAQ=60°
(3)
解:设点P,Q运动x秒时,△PBQ是直角三角形,
则AP=BQ=x,PB=(4﹣x),
当∠PQB=90°时,
∵∠B=60°,
∴BP=2BQ,即4﹣x=2x,
解得,x= ,
当∠PBQ=90°时,
∵∠B=60°,
∴BQ=2BP,即2(4﹣x)=x,
解得,x= ,
∴当点P,Q运动 秒或 秒时,△PBQ是直角三角形
【解析】(1)根据等边三角形的性质、三角形全等的判定定理证明;(2)根据全等三角形的性质得到∠BAQ=∠ACP,根据三角形的外角的性质解答;(3)分∠PQB=90°和∠PBQ=90°两种情况,根据直角三角形的性质计算即可.
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