题目内容

【题目】如图1,点O是正方形ABCD两对角线的交点. 分别延长OD到点GOC到点E,使OG=2ODOE=2OC,然后以OGOE为邻边作正方形OEFG,连接AGDE

(1)求证:DEAG

(2)正方形ABCD固定,将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角(0°< <360°)得到正方形,如图2.

①在旋转过程中,当∠是直角时,求的度数;(注明:当直角边为斜边一半时,这条直角边所对的锐角为30度)

②若正方形ABCD的边长为1,在旋转过程中,求长的最大值和此时的度数,直接写出结果不必说明理由.

图1 图2

【答案】(1)证明见解析;(2)①(1)30°或150°②AF′长的最大值是,此时α=315°.

【解析】1)如图1,延长EDAG于点H.

O为正方形ABCD对角线的交点.∴OA=ODOAOD.

OG=OE,∴RtAOGRtDOE,∴∠AGO=∠DEO.

∵∠AGO+∠GAO=90°,∴∠DEO+∠GAO=90°,∴∠AHE=90°,即DEAG.

2)①在旋转过程中,∠成为直角有以下两种情况:

(i)α0°增大到90°过程中,当∠为直角时,

,∴在Rt中,

∴∠OAOD,∴∠DOG′=90°-∠=30°,即α=30°.

(ii)α90°增大到180°过程中,当∠为直角时,

同理可求的∠AOG′=30°,所以α=90°+∠=150°.

综上,当∠为直角时,α=30°或150°.

AF′长的最大值是,此时α=315°.理由:当AF′长的最大时,点F′在直线AC上,如图所示:

AB=BC=CD=AD=1,∴AC=BD=AO=OD=

OE′=EF′=2OD=.∴OF′=.∴AF′=AO+OF′=

∵∠EOF=45°∴旋转角α=360°-45°=315°.

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