Question

已知边长为4的正方形ABCD截去一个角后成为五边形ABCFE（如图）．其中EF=，cot∠DEF=．
（1）求线段DE、DF的长；
（2）若点P是线段EF上的一个动点，过P作PG⊥AB，PH⊥BC，设PG=x，四边形BHPG的面积y，求y关于x的函数关系式（写出定义域）．并画出函数大致图象；
（3）当点P运动到四边形BHPG相邻两边之比为2：3时，求四边形BHPG的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据cot∠DEF=，可以设出DE=m．则DF=2m，然后利用勾股定理可以直接求出线段DE、DF的长；
（2）延长GP交DC于M，根据平行线分线断成比例可得=，设PG=x，表示出FM，PM的长，即可得到关系式；
（3）点P运动到四边形BHPG相邻两边之比为2：3，要分情况讨论，当=时，当=时，分别求出y的值．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=90°，
设DE=m．则DF=2m，
DE²+DF²=EF²，
即；5m²=5，
∴m=1，
∴DE=1，DF=2；

（2）延长GP交DC于M，
∵PG⊥AB，PH⊥BC，
∴GP∥AD∥CB，
∴PH∥BG，
∴=，
∵PG=x，GM=BC=AD=4，
PM=4-x，FM=2（4-x），
∴PH=CM=CF+FM=2+2（4-x）=10-2x，
∴y=x（10-2x）=-2x ²+10x（3≤x≤4）；
如图所示：

（3）当=时，
即=，
x=（不合题意舍去），
当=时，
x=，
y=．
故四边形BHPG的面积为．
点评：此题主要考查了勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例定理，综合性较强，关键是设线段的长，利用相似的性质表示矩形的面积，用二次函数的方法解题．