题目内容
如图,点C在线段BD上,AC⊥BD,CA=CD,点E在线段CA上,且满足DE=AB,连接DE并延长交AB于点F.
(1)求证:DE⊥AB;
(2)若已知BC=a,AC=b,AB=c,设EF=x,则△ABD的面积用代数式可表示为;S△ABD=
c(c+x)你能借助本题提供的图形,证明勾股定理吗?试一试吧.
(1)求证:DE⊥AB;
(2)若已知BC=a,AC=b,AB=c,设EF=x,则△ABD的面积用代数式可表示为;S△ABD=
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(1)证明:在Rt△ABC和Rt△DCE中,
∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL)
∴∠BAC=∠EDC(全等三角形的对应角相等),
∵∠AEF=∠DEC(对顶角相等),∠EDC+∠DEC=90°(直角三角形两锐角互余),
∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°.
∴∠AFE=180°-(∠BAC+∠AEF)=90°.
∴DE⊥AB.
(2)由题意知:
S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE=
a2+
b2+
cx,
∵S△ABD=
c(c+x),
∴
a2+
b2+
cx=
c(c+x).
∴a2+b2=c2.
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∴Rt△ABC≌Rt△DCE(HL)
∴∠BAC=∠EDC(全等三角形的对应角相等),
∵∠AEF=∠DEC(对顶角相等),∠EDC+∠DEC=90°(直角三角形两锐角互余),
∴∠BAC+∠AEF=∠EDC+∠DEC=90°.
∴∠AFE=180°-(∠BAC+∠AEF)=90°.
∴DE⊥AB.
(2)由题意知:
S△ABD=S△BCE+S△ACD+S△ABE=
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∵S△ABD=
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∴a2+b2=c2.
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