题目内容
【题目】如图,二次函数y=﹣x2+3x+m的图象与x轴的一个交点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点
(1)求m的值及C点坐标;
(2)在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得它与B,C两点构成的三角形面积最大,若存在,求出此时M点坐标;若不存在,请简要说明理由
(3)P为抛物线上一点,它关于直线BC的对称点为Q
①当四边形PBQC为菱形时,求点P的坐标;
②点P的横坐标为t(0<t<4),当t为何值时,四边形PBQC的面积最大,请说明理由.
【答案】
(1)
解:将B(4,0)代入y=﹣x2+3x+m,
解得,m=4,
∴二次函数解析式为y=﹣x2+3x+4,
令x=0,得y=4,
∴C(0,4),
(2)
解:存在,
理由:∵B(4,0),C(0,4),
∴直线BC解析式为y=﹣x+4,
当直线BC向上平移b单位后和抛物线只有一个公共点时,△MBC面积最大,
∴ ,
∴x2﹣4x+b=0,
∴△=14﹣4b=0,
∴b=4,
∴ ,
∴M(2,6)
(3)
解:①如图,
∵点P在抛物线上,
∴设P(m,﹣m2+3m+4),
当四边形PBQC是菱形时,点P在线段BC的垂直平分线上,
∵B(4,0),C(0,4)
∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x,
∴m=﹣m2+3m+4,
∴m=1± ,
∴P(1+ ,1+ )或P(1﹣ ,1﹣ ),
②如图,
设点P(t,﹣t2+3t+4),
过点P作y轴的平行线l,过点C作l的垂线,
∵点D在直线BC上,
∴D(t,﹣t+4),
∵PD=﹣t2+3t+4﹣(﹣t+4)=﹣t2+4t,
BE+CF=4,
∴S四边形PBQC=2S△PDC=2(S△PCD+S△BD)=2( PD×CF+ PD×BE)=4PD=﹣4t2+16t,
∵0<t<4,
∴当t=2时,S四边形PBQC最大=16
【解析】(1)用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先判断出面积最大时,平移直线BC的直线和抛物线只有一个交点,从而求出点M坐标;(3)①先判断出四边形PBQC时菱形时,点P是线段BC的垂直平分线,利用该特殊性建立方程求解;②先求出四边形PBCQ的面积与t的函数关系式,从而确定出它的最大值.此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法,极值的确定,对称性,面积的确定,解本题的关键是确定出△MBC面积最大时,点P的坐标.