Question

【题目】阅读理解：

若一个整数能表示成a2+b2（a、b是整数）的形式，则称这个数为“平和数”，例如5是“平和数”，因为5＝22+1，再如，M＝x2+2xy+2y2＝（x+y）2+y2（x， y是整数），我们称M也是“平和数”．

（1）请你写一个小于5的“平和数”，并判断34是否为“平和数”．

（2）已知S＝x2+9y2+6x﹣6y+k（x，y是整数，k是常数，要使S为“平和数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．

（3）如果数m，n都是“平和数”，试说明也是“平和数”．

Answer 1

【答案】（1）2（答案不唯一），是；（2）10，理由见解析；（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用“平和数”的定义可得；

（2）利用配方法，将S配成平和数，可求k的值；

（3）根据完全平方公式，可证明也是“平和数”．

（1）∵2=12+12

∴2是平和数

∵34=52+32

∴34是平和数

（2）∵S=x2+9y2+6x-6y+k=（x+3）2+（3y-1）2+k-10

∴k=10时，S是平和数

（3）设m=a2+b2，n=c2+d2

∴=mn=（a2+b2）（c2+d2）

=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2+2abcd-2abcd

∴mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2

∴mn是平和数

∴也是“平和数”．