题目内容
【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BD是△ABC的角平分线， DE⊥AB于点E．
（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；
（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG=60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；
（3）如图3,点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG=60°，NG交DE延长线于点G，且MB=MG．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．
【答案】（1）见详解；（2）AD = DG＋DM；（3）AD = DG－DN.
【解析】
（1）利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形；
（2）延长ED使得DW=DM，连接MN，即可得出△WDM是等边三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD=WG=DG+DM，再利用AD=BD，即可得出答案；
（3）利用等边三角形的性质得出∠H=∠2，进而得出∠DNG=∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
(1)证明：如图1所示：
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°，
∴∠ABC=60°,BC=
AB.
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠DBA=∠A=30°.
∴DA=DB.
∵DE⊥AB于点E.
∴AE=BE=AB.
∴BC=BE.
∴△EBC是等边三角形；
(2)结论：AD=DG+DM.
证明：
如图2所示：延长ED使得DW=DM，连接MW，
∵∠ACB=90°,∠A=30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，
∴∠ADE=∠BDE=60°，AD=BD，
又∵DM=DW，
∴△WDM是等边三角形，
∴MW=DM，
在△WGM和△DBM中，
∵
∴△WGM≌△DBM，
∴BD=WG=DG+DM，
∴AD=DG+DM.
(3)结论：AD=DGDN.
证明：延长BD至H，使得DH=DN.
由(1)得DA=DB,∠A=30°.
∵DE⊥AB于点E.
∴∠2=∠3=60°.
∴∠4=∠5=60°.
∴△NDH是等边三角形.
∴NH=ND,∠H=∠6=60°.
∴∠H=∠2.
∵∠BNG=60°，
∴∠BNG+∠7=∠6+∠7.
即∠DNG=∠HNB.
在△DNG和△HNB中,
∴△DNG≌△HNB(ASA).
∴DG=HB.
∵HB=HD+DB=ND+AD，
∴DG=ND+AD.
∴AD=DGND.
同步练习河南大学出版社系列答案
同步练习西南师范大学出版社系列答案
补充习题江苏系列答案
