题目内容
【题目】(1)如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和ΔADE的直角顶点重合在点A处，∠ADE=∠ABC=60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C=∠E=30°，AB=AD，AC=AE，BC=DE，BC和DE相交于点F.求证:CF=EF.
(2)如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于点M，AE和BC交于点N.猜想CF和EF还相等吗?说明理由.
(3)如图3，在(2)的基础上，若∠DAM=30°.求证:线段DF和AC互相垂直平分.
【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析；（3）见解析
【解析】
（1）根据AB=AD，AC=AE得出CD=BE，进而求出△CDF≌△EBF.，即可得出答案；
（2）根据题意求出∠BAN=∠DAM，进而证明△BAN≌△DAM，得出AN=AM，进一步求出CM=EN，再证明△CMF≌△ENF，即可得出答案；
（3）连接AF，求出∠CAN=60°，证明ΔACF≌△AEF得到∠CAF=
∠CAN=30°，再证△ADM≌ΔAFM得到DM=FM，最后证△CFM≌△AFM得出AM=CM，即可得出答案.
(1)证明:∵AB=AD，AC=AE
∴AC=AD=AE-AB
∴CD=EB
在△CDF和△EBF中
∴△CDF≌△EBF
∴CF=EF
(2)解:相等.
理由如下:∵∠CAB=∠EAD-90°
∠CAB-∠CAE=∠EAD-∠CAE
∴∠BAN=∠DAM
在△BAN和△DAM中
∴△BAN≌△DAM
∴AN=AM
∴AC-AM=AE-AD.
∴CM=EN
在△CMF和△ENF中∠C=∠E
∴△CMF≌△ENF
∴CF=EF
(3)证明:连接AF，
当∠DAM=30°时，∠AMD=180°-∠D-∠DAM=180°-60°-30°=90°，
∴AC⊥DF，即∠AMD=∠AMF=∠CMF=90°；
∠CAN=∠DAE-∠DAM=90°-30=60°，
在△ACF和ΔAEF中，
∴ΔACF≌△AEF，
∴∠CAF=∠EAF
∴∠CAF=∠EAF=∠CAN=30°
在△ADM和△AFM中
∴△ADM≌ΔAFM
∴DM=FM，即AC平分DF
在△CFM和△AFM中
∴△CFM≌△AFM
∴AM=CM，即DF平分AC，
综上所述，AC和DF互相垂直平分.
快乐暑假暑假能力自测中西书局系列答案
