题目内容
如图，在平面直角坐标系中，⊙O是以原点O为圆心，半径为2的圆，P是在第一象限内，⊙O上一动点，过点P作⊙O的切线分别与x，y轴相交于点A、B．（1）当点P为AB中点时，请直接写出P点坐标；
（2）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请求线段AB的最小值，并说明理由；
（3）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：圆的综合题
专题：
分析：（1）利用切线的性质和点P为AB的中点可以得到OP垂直平分AB，从而求得点P的坐标；
（2）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，所以当OC与OP重合时，OC最短；
（3）分两种情况：如图（1），当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（
，-
），如图（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（-
，
）．
（2）如图，设AB的中点为C，连接OP，由于AB是圆的切线，故△OPC是直角三角形，所以当OC与OP重合时，OC最短；
（3）分两种情况：如图（1），当四边形APOQ是正方形时，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得点Q的坐标为（
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解答：
解：（1）如图，作PM⊥OA于点M，
∵点P为AB中点，AB切⊙O于点P，
∴∠POM=45°，
∵PO=2
∴PM=OM=
，
∴点P的坐标为：（
，
）
（2）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
如图1连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4；
（3）设存在符合条件的点Q，
如图3，设四边形APOQ为平行四边形；
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ为矩形，
又∵OP=OQ，
∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（
，-
）；
如图4，设四边形APQO为平行四边形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q点坐标为（-
，
）．
∴符合条件的点Q的坐标为（
，-
）或（-
，
）．
解：（1）如图，作PM⊥OA于点M，∵点P为AB中点，AB切⊙O于点P，
∴∠POM=45°，
∵PO=2
∴PM=OM=
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∴点P的坐标为：（
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（2）线段AB长度的最小值为4，
理由如下：
如图1连接OP，
∵AB切⊙O于P，
∴OP⊥AB，
取AB的中点C，
则AB=2OC；
当OC=OP时，OC最短，
即AB最短，
此时AB=4；
（3）设存在符合条件的点Q，
如图3，设四边形APOQ为平行四边形；
∵∠APO=90°，
∴四边形APOQ为矩形，
又∵OP=OQ，
∴四边形APOQ为正方形，
∴OQ=QA，∠QOA=45°；
在Rt△OQA中，根据OQ=2，∠AOQ=45°，
得Q点坐标为（
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如图4，设四边形APQO为平行四边形；
∵OQ∥PA，∠APO=90°，
∴∠POQ=90°，
又∵OP=OQ，
∴∠PQO=45°，
∵PQ∥OA，
∴PQ⊥y轴；
设PQ⊥y轴于点H，
在Rt△OHQ中，根据OQ=2，∠HQO=45°，
得Q点坐标为（-
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∴符合条件的点Q的坐标为（
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点评：本题利用了切线的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质求解，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
在等腰三角形中，有两条边的长度是方程x2-9x+18=0的根，那么它的周长是（ ）
| A、12 | B、15 |
| C、12或15 | D、9 |