Question

抛物线的解析式y=ax²+bx+c满足如下四个条件：abc=0；a+b+c=3；ab+bc+ca=-4；a＜b＜c．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B（A在B的左边），与y轴的交点为C．P是抛物线上第一象限内的点，AP交y轴于点D，当OD=1.5时，试比较S_△AOD与S_△DPC的大小．

Answer 1

分析：（1）因为a不等于0故分别令c=0以及b=0时求出a，c的值．
（2）令y=0求出A，B两点的坐标．做PG⊥x轴于G，利用线段比求出m值，然后可求出各有关线段的值．最后求解．

解答：解：（1）∵a≠0，abc=0，
∴bc=0
＜1＞当b=0时
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+c=3 ac=-4

，
解得

a1=-1 c1=4

或

a2=4 c2=-1

，
∵a＜b＜c，
∴

a2=4 c2=-1

，（不合意，舍去）
∴a=-1，b=0，c=4．（2分）
＜2＞当c=0时
由

a+b+c=3 ab+ac+bc=-4

，
得

a+b=3 ab=-4

，
解之得

a1=4 b1=-1

或

a2=-1 b2=4

．
∵a＜b＜c，
∴

a1=4 b1=-1

和

a2=-1 b2=4

都不合题意，舍去．（3分）
∴所求的抛物线解析式为y=-x²+4．（4分）

（2）在y=-x²+4中，当y=0时，x=±2
∴A、B两点的坐标分别为（-2，0），（2，0），
过P作PG⊥x轴于G，设P（m，n）
∵点P在抛物线上且在第一象限内，
∴m＞0，n＞0，n=-m²+4
∴PG=-m²+4，OA=2，AG=m+2（5分）
∵OD∥PG，OD=1.5
∴

OA

AG

=

OD

PG

，即

2

2+m

=

1.5

-m2+4

解得m1=

5

4

，m2=-2（不合题意，舍去），
∴OG=

5

4

（7分）
∵当x=0时，y=4，
∴点C的坐标为（0，4）
∴DC=OC-OD=4-1.5=2.5 S_△PDC=

1

2

CD•OG=

1

2

×

5

2

×

5

4

=

25

16

S_△AOD=

1

2

AO•OD=

1

2

×1.5×2=

3

2

=

24

16

∴S_△PDC＞S_△AOD．（8分）

点评：本题综合考查了二次函数的相关知识以及三角形面积的计算，难度较大．