Question

一条抛物线y=

1

4

x²+mx+n经过点（0，

3

2

）与（4，

3

2

）．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标．

Answer 1

分析：（1）将已知点的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．进而可求出抛物线的顶点坐标；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当圆与y轴相切时，那么圆心的横坐标的绝对值为1，可将其横坐标（分正负两个）代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标；
②当圆与x轴相切时，那么圆心的纵坐标的绝对值为1，然后仿照①的方法即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）由抛物线过（0，

3

2

），（4，

3

2

）两点，
得

n= 3 2 1 4 ×42+4m+n= 3 2

，
解得

m=-1 n= 3 2

．
∴抛物线的解析式是：y=

1

4

x²-x+

3

2

，（3分）
由y=

1

4

x²-x+

3

2

=

1

4

（x-2）²+

1

2

，得抛物线的顶点（2，

1

2

）；

（2）设点P的坐标为（x₀，y₀）
①当圆P与y轴相切时，有|x₀|=1，
∴x₀=±1
由x₀=1，得y₀=

1

4

×1-1+

3

2

=

3

4

由x₀=-1，得y₀=

1

4

×（-1）²-（-1）+

3

2

=

11

4

此时，点P的坐标为P₁（1，

3

4

），P₂（-1，

11

4

）；
②当圆P与x轴相切时，有|y₀|=1
∵抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y₀＞0，∴y₀=1
由y₀=1，得

1

4

x₀²-x₀+

3

2

=1
解得x₀=2±

2

此时，点P的坐标为P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1）
综上所述，圆心P的坐标为P₁（1，

3

4

），P₂（-1，

11

4

），P₃（2-

2

，1），P₄（2+

2

，1）．

点评：本题主要考查了二次函数解析式的确定以及切线的判定，要注意的是（2）题中要分与x轴相切和与y轴相切两种情况进行讨论，不要漏解．