Question

已知抛物线y=x²-4x+m与x轴相交于A，B两点（B点在A点的左边），与y轴的负半轴相交于点C．
（1）求抛物线的对称轴和顶点坐标（用数或含m的代数式表示）；
（2）若AB=6，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的抛物线上是否存在点P，使△AOP≌△COP？如果存在，请确定点P的位置，并求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的对称轴为x=-

b

2a

，顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）据此可求出对称轴和抛物线的顶点坐标．
（2）当AB=6，以及（1）得出的抛物线的对称轴即可确定出A、B的坐标，然后将A或B的坐标代入抛物线的解析式中即可求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的抛物线不难得出A点坐标为（5，0），C点坐标为（0，-5）．因此要想使△AOP≌△COP，两三角形中已有了OA=OC、OP=OP，因此这两组对应边的夹角必相等，即∠AOP=∠COP，那么P点就是直线y=-x与抛物线的交点．联立两个函数式即可求出P点的坐标．

解答：解：（1）由题意抛物线的对称轴为x=-

-4

2

=2；顶点坐标为（2，m-4）．

（2）根据AB=6，抛物线的对称轴为x=2可得A、B两点的坐标分别为：A（5，0）；B（-1，0）．
由于抛物线过A点，则有：0=25-20+m，m=-5．
因此抛物线的解析式为y=x²-4x-5．

（3）根据抛物线的解析式可知：C点的坐标为（0，-5）．
因此OC=OA=5，如果△AOP≌△COP，那么∠AOP=∠COP，P在二四象限的角平分线上即y=-x上，
由题意可知：

y=-x y=x2-4x-5

解得：

x1= 3+ 29 2 y1=- 3+ 29 2

，

x2= 3- 29 2 y2= 29 -3 2

因此存在这样的P点，且P点的坐标为（

3+ 29

2

，-

3+ 29

2

）或（

3- 29

2

，

29 -3

2

）．

点评：本题主要考查了一次函数及二次函数解析式的确定、全等三角形的判定、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．