Question

【题目】如图，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点P，∠APB＝75°，∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC的外接圆的半径及∠ADB的度数．

Answer 1

【答案】，30°

【解析】

（1）连接CD，根据角平分线的性质得到∠BAP＝∠CAP＝45°，从而得到∠ACB＝30°，再根据圆中弧与圆周角及弦的关系得到DB=DC，所以△DBC为等腰直角三角形，从而再利用三角函数得出答案

（2）根据同弧所对的圆周角相等，所以∠ACB=∠ADB，从而得出答案即可

解：∵∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，

∴∠BAP＝∠CAP＝45°，

∵∠APB＝75°，

∴∠ACB＝75°﹣45°＝30°；

连接CD，如图，

∵∠BAC＝90°，

∴BC为直径，

∴∠BDC＝90°，

∵∠BAD＝∠CAD，

∴DB＝DC，

∴△DBC为等腰直角三角形，

∴BC＝BD＝4，

∴△ABC外接圆的半径为2．

（2）由（1）得∠ACB＝30°

又∵∠ACB=∠ADB

∴∠ADB=30°