题目内容
【题目】如图，在梯形
中，
，
，
，
．P为线段
上的一动点，且和B、C不重合，连接
，过点P作
交射线
于点E．
聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进行了研究：
（1）通过推理，他发现
，请你帮他完成证明．
（2）利用几何画板，他改变的长度，运动点P，得到不同位置时，
、
的长度的对应值：
当
时，得表1：
| … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| … | 0.83 | 1.33 | 1.50 | 1.33 | 0.83 | … |
当
时，得表2：
| … | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | … |
| … | 1.17 | 2.00 | 2.50 | 2.67 | 2.50 | 2.00 | 1.17 | … |
这说明，点P在线段上运动时，要保证点E总在线段上，
的长度应有一定的限制．
①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在和的长度这两个变量中，_____的长度为自变量，_____的长度为因变量；
②设
，当点P在线段上运动时，点E总在线段上，求m的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2）①BP，CE；②0＜m≤
【解析】
（1）由同角的余角相等可得∠APB＝∠CEP，又因为∠B＝∠C＝90°，即可证得相似；
（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，即可判断自变量和因变量；
②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，由△ABP∽△PCE，利用对应边成比例求出y与x的函数关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；
解：（1）证明：∵
，
∴∠APE＝90°，
∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°，
∴∠APB＝∠CEP，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABP∽△PCE；
（2）①由题意可得随着P点的变化，CE的长度在变化，所以BP的长度为自变量，CE的长度为因变量；
故答案为：BP，CE；
②设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，
∵△ABP∽△PCE，
∴
，即
，
∴y＝
＝
，
∴当x＝
时，y取得最大值，最大值为
，
∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，
∴≤2，
解得m≤，
∴m的取值范围为：0＜m≤．
