题目内容
【题目】如图所示，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，A（﹣5，0），与y轴交于C（0，﹣5），并且对称轴x＝﹣3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P在x轴上方的抛物线上，过P的直线y＝x+m与直线AC交于点M，与y轴交于点N，求PM+MN的最大值；
（3）点D为抛物线对称轴上一点，
①当△ACD是以AC为直角边的直角三角形时，求D点坐标；
②若△ACD是锐角三角形，求点D的纵坐标的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣6x﹣5；（2）PM+MN的最大值为9
；（3）①点D的坐标为（﹣3，2）或（﹣3，﹣8）；②D的纵坐标的取值范围是﹣8＜y＜﹣6或1＜y＜2
【解析】
（1）利用待定系数法求解可得；
（2）易得AC解析式为
，作
轴，交AC于H，作
轴，设
，由MN的解析式为
知
，据此得
，再根据
及二次函数的性质进一步求解可得；
（3）①设
，先利用两点间的距离公式得到
，再讨论：当△ACD是以AC为直角边、CD为斜边和以AC为直角边、AD为斜边的直角三角形时，分别解方程求出y即可得到对应的D点坐标；
②由于当△ACD是以AC为斜边的直角三角形时，
，解方程得到y的值，然后结合图形可确定△ACD是锐角三角形时，点D纵坐标的取值范围．
（1）∵抛物线过
，对称轴为直线
∴点B坐标为
可设抛物线解析式为
将点
代入得
解得
则抛物线的解析式为
故抛物线的解析式为
；
（2）设P点坐标为
∴直线AC解析式为
过点P作轴，交AC于H，作PG⊥y轴于G
∵MN的解析式为
由二次函数的性质可知，当
时，
取得最大值，最大值为
故的最大值为；
（3）①设
则
当△ACD是以AC为直角边、CD为斜边的直角三角形时
，即
解得
，则此时
当△ACD是以AC为直角边、AD为斜边的直角三角形时
，即
解得
，则此时点
综上，点D的坐标为
或
；
②当△ACD是以AC为斜边的直角三角形时
，即
整理得
解得
或
故当△ACD是锐角三角形时，点D纵坐标的取值范围是
或
．
挑战100单元检测试卷系列答案
【题目】已知抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … |
| ﹣4 |
| ﹣4 |
| 0 |
| … |
(1)求该抛物线的表达式；
(2)已知点E(4， y)是该抛物线上的点，点E关于抛物线的对称轴对称的点为点F，求点E和点F的坐标．
【题目】焦作市教育局为调查全市教师的运动情况，结合现今流行的“微信运动”，随机调查了本市
名老师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表：
步数 | 频数 | 频率 |
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请根据以上信息，解答下列问题：
（1）写出
的值，并补全频数分布直方图；
（2）本市约有
名教师，结合调查的数据估计日行走步数超过
步（包含步）的教师有多少名？
（3）若在被调查的教师中，选取日行走步数超过
步（包含步）的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在
步（包含步）以上的概率．
