Question

【题目】如图1，在正方形ABCD中，延长BC至M，使BM=DN，连接MN交BD延长线于点E．

（1）求证：BD+2DE=BM．
（2）如图2，连接BN交AD于点F，连接MF交BD于点G．若AF：FD=1：2，且CM=2，则线段DG=_____;

Answer 1

【答案】
（1）

证明：过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠DBC=∠BDC=45°，

∴PM∥CN，

∴∠N=∠EMP，∠BDC=∠MPB=45°，

∴BM=PM，

∵BM=DN，

∴DN=MP，

在△DEN和△PEM中

，

∴△DEN≌△PEM，

∴DE=EP，

∵△BMP是等腰直角三角形

∴BP=BM

∴BD+2DE=BM．

（2）

解：∵AF：FD=1：2，

∴DF：BC=2：3，

∵△BCN∽△FDN，

∴

设正方形边长为a，又知CM=2，

∴BM=DN=a+2，CN=2a+2

∴，

解得：a=2，

∴DF=，BM=4，BD=，

又∵△DFG∽△BMG，

∴，

∴，

∴DG=．

故答案为：．

【解析】（1）过点M作MP⊥BC交BD的延长线于点P，首先证明△DEN≌△PEM，得到DE=PE，由△BMP是等腰直角三角形可知BP=BM，即可得到结论；
（2）由AF：FD=1：2，可知DF：BC=2：3，由△BCN∽△FDN，可求出BC=2，再由△DFG∽△BMG即可求出DG的长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对正方形的性质的理解，了解正方形四个角都是直角，四条边都相等；正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形；正方形的对角线与边的夹角是45o；正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．