题目内容
【题目】如图,⊙O中,直径CD⊥弦AB于E,AM⊥BC于M,交CD于N,连AD.
(1)求证:AD=AN;
(2)若AE=,ON=1,求⊙O的半径.
【答案】(1)证明见解析;(2)3;
【解析】
(1)先根据圆周角定理得出∠BAD=∠BCD,再由直角三角形的性质得出∠ANE=∠CNM,故可得出∠BCD=∠BAM,由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE,故可得出结论;
(2)先根据AE的长,设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,r=OD=OE+ED=2x-1,连结AO,则AO=OD=2x-1,在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值,进而得出结论;
(1)证明:∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角,
∴∠BAD=∠BCD,
∵AE⊥CD,AM⊥BC,
∴∠AMC=∠AEN=90°,
∵∠ANE=∠CNM,
∴∠BCD=∠BAM,
∴∠BAM=BAD,
在△ANE与△ADE中,
,
∴△ANE≌△ADE,
∴AD=AN;
(2)∵AE=2,AE⊥CD,
又∵ON=1,
∴设NE=x,则OE=x-1,NE=ED=x,
r=OD=OE+ED=2x-1
连结AO,则AO=OD=2x-1,
∵△AOE是直角三角形,AE=2,OE=x-1,AO=2x-1,
∴(2)2+(x-1)2=(2x-1)2,
解得x=2,
∴r=2x-1=3.
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