Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm.若动点P从A点出发，以每秒4cm的速度沿线段AD、DC向C点运动；动点Q从C点出发以每秒5cm的速度沿CB向B点运动.当Q点到达B点时，动点P、Q同时停止运动.设点P、Q同时出发，并运动了t秒，

（1）直角梯形ABCD的面积为             cm².
（2）当t＝　　　　　秒时，四边形PQCD成为平行四边形？
（3）当t＝　　　　　秒时，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P点在线段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此时t的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）48；（2）；（3）；（4）存在，.

试题分析：本题综合考察了平行四边形的判定方法，梯形的计算，梯形问题一般通过作高线转化为三角形与平行四边形的问题.
（1）作DM⊥BC于点M，在直角△CDM中，根据勾股定理即可求得CM=8cm，得到下底边的长BC=12cm，由梯形面积公式可得：（4+12）×6÷2=48cm².所以应填48.
（2）当四边形PQCD成为平行四边形时．PQ//CD，PQ=CD.所以4-4t=5t，解方程可得t=，所以应填.
即为所求.
（3）在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ².而AB=6，AQ=DC=10，此时BQ=12-t，由勾股定理可求，所以填.
（4）连接QD，根据可求PQ=3t，进而利用勾股定理在中求得t的值，结合CD、CB的长度分析可求t是否存在.
试题解析：
解：（1）48（2）（3）
（4）如图，设QC＝5t，则DP＝4t－4，
∵CD＝10
∴PC＝14－4t，连结DQ，
∵AB＝6，
∴
若PQ⊥CD，则
∴5PQ＝15t，
即PQ＝3t
∵PQ⊥CD  则QC²＝PQ²＋PC²
∴
解得t＝（5分）
当t＝时，4＜4t＜14，此时点P在线段DC上，又5t＝＜12，点Q在线段CB上.
∴当P点运动到DC上时，存在t＝秒，使得PQ⊥CD.（6分）