Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-

1

2

x²+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限．
（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q．
（i）若点M在直线AC下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以M、P、Q三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点M的坐标；
（ii）取BC的中点N，连接NP，BQ．试探究

PQ

NP+BQ

是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），C的坐标为（4，3）
∴点B的坐标为（4，-1）．
∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，
∴

c=-1 - 1 2 ×16+4b+c=-1

，解得：b=2，c=-1，
∴抛物线的函数表达式为：y=-

1

2

x²+2x-1．

（2）i）∵A（0，-1），C（4，3），
∴直线AC的解析式为：y=x-1．
设平移前抛物线的顶点为P₀，则由（1）可得P₀的坐标为（2，1），且P₀在直线AC上．
∵点P在直线AC上滑动，∴可设P的坐标为（m，m-1），
则平移后抛物线的函数表达式为：y=-

1

2

（x-m）²+m-1．
解方程组：

y=x-1 y=- 1 2 (x-m)2+(m-1)

，
解得

x1=m y1=m-1

，

x2=m-2 y2=m-3

∴P（m，m-1），Q（m-2，m-3）．
过点P作PE∥x轴，过点Q作QF∥y轴，则
PE=m-（m-2）=2，QF=（m-1）-（m-3）=2．
∴PQ=2

2

=AP₀．
若以M、P、Q三点为顶点的等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：
①当PQ为直角边时：点M到PQ的距离为2

2

（即为PQ的长）．
由A（0，-1），B（4，-1），P₀（2，1）可知，
△ABP₀为等腰直角三角形，且BP₀⊥AC，BP₀=2

2

．
如答图1，过点B作直线l₁∥AC，交抛物线y=-

1

2

x²+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l₁的解析式为：y=x+b₁，
∵B（4，-1），∴-1=4+b₁，解得b₁=-5，
∴直线l₁的解析式为：y=x-5．
解方程组

y=x-5 y=- 1 2 x2+2x-1

，得：

x1=4 y1=-1

，

x2=-2 y2=-7

∴M₁（4，-1），M₂（-2，-7）．

②当PQ为斜边时：MP=MQ=2，可求得点M到PQ的距离为

2

．
如答图2，取AB的中点F，则点F的坐标为（2，-1）．
由A（0，-1），F（2，-1），P₀（2，1）可知：
△AFP₀为等腰直角三角形，且点F到直线AC的距离为

2

．
过点F作直线l₂∥AC，交抛物线y=-

1

2

x²+2x-1于点M，则M为符合条件的点．
∴可设直线l₂的解析式为：y=x+b₂，
∵F（2，-1），∴-1=2+b₂，解得b₂=-3，
∴直线l₂的解析式为：y=x-3．
解方程组

y=x-3 y=- 1 2 x2+2x-1

，得：

x1=1+ 5 y1=-2+ 5

，

x2=1- 5 y2=-2- 5

∴M₃（1+

5

，-2+

5

），M₄（1-

5

，-2-

5

）．
综上所述，所有符合条件的点M的坐标为：
M₁（4，-1），M₂（-2，-7），M₃（1+

5

，-2+

5

），M₄（1-

5

，-2-

5

）．

ii）

PQ

NP+BQ

存在最大值．理由如下：
由i）知PQ=2

2

为定值，则当NP+BQ取最小值时，

PQ

NP+BQ

有最大值．

如答图2，取点B关于AC的对称点B′，易得点B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q．
连接QF，FN，QB′，易得FN∥PQ，且FN=PQ，
∴四边形PQFN为平行四边形．
∴NP=FQ．
∴NP+BQ=FQ+B′Q≥FB′=

22+42

=2

5

．
∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2

5

．
∴

PQ

NP+BQ

的最大值为

2 2

2 5

=

10

5

．