Question

【题目】认真阅读下面的材料，完成有关问题．

材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|．

问题（1）：点A、B、C在数轴上分别表示有理数x、﹣2、1，那么A到B的距离与A到C的距离之和可表示为　　 （用含绝对值的式子表示）．

问题（2）：利用数轴探究：①找出满足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是　 　　　；

②设|x﹣3|+|x+1|=p，当x的值取在不小于﹣1且不大于3的范围时，p的值是不变的，而且是p的最小值，这个最小值是　　　 ；当x的值取在　　　 的范围时，|x|+|x﹣2|的最小值是　　　 ．

问题（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此时x的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①和4；②4；当x的取值在不小于0且不大于2的范围时，的最小值是2；（3）的最小值为4，此时x的值为2.

【解析】

（1）根据材料中两点间距离的表示方法，分别表示出A到B的距离、A到C的距离，然后求和即可；

（2）①表示的是在数轴上的一点到的距离之和为6，因此分三种情况分析，去绝对值计算即可；

②先根据x的取值范围去绝对值，再求解即可得出答案；利用同样的方法，分析即可；

（3）根据数轴的定义，划分x的取值范围，去绝对值进行计算即可.

（1）由题意得：A到B的距离为，A到C的距离为

则所求的式子为：；

（2）①表示的是在数轴上的一点到的距离之和为6

分以下三种情况：

当时，可化为，解得

当时，可化为，无解，不满足题意

当时，可化为，解得

综上，满足的x的所有值是和4；

②由题意得，当时，p取得最小值

则p的最小值是4

表示的是在数轴上的一点到的距离之和

当时，

当时，

当时，

综上，当x的取值在不小于0且不大于2的范围时，的最小值是2；

（3）表示的是在数轴上的一点到的距离之和

当时，

当时，

此时，，则

当时，

此时，

当时，

综上，的最小值为4，此时，解得.