题目内容
【题目】（1）发现：如图①，点A为一动点，点B和点C为两个定点，且
，
（
）．
填空：当点
位于_______时，线段
的长取得最小值，且最小值为_______（用含
的式子表示）；
（2）如图②应用：点为线段
外一动点，且
，
，如图2分别以
、为边作等边三角形
和等边三角形
，连接
、
．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的最小值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，点
为线段OB外一动点，且
，
，
，请求出
的最小值并直接写出点的坐标．
【答案】（1）线段BC上，
；（2）①
，理由见解析；②
；（3）
【解析】
（1）直接根据三角形三边关系即可得出答案；
（2）①首先根据等边三角形的性质得出
，然后由全等三角形的性质即可得出答案；
②线段BE长度的最小值=线段CD长度的最小值，当点D在BC边上时，CD最小，即可求出答案；
（3）在y轴上取点
，连接
，在点P所在的圆O上取一点
，连接
，依题意作
，使
，连接
，首先利用相似三角形的性质得出点M在以
为圆心的圆上运动，
，从而可求出OM的最小值，此时M在y轴上，通过全等三角形的性质得出
，然后设
，建立方程组即可求出此时P点的坐标．
（1）
，
，
，
∴当点A位于线段BC上时，线段AC的长取得最小值，且最小值为；
（2）①，理由如下：
∵
都是等边三角形，
∴
，
，
即
．
在
和
中，
，
；
②当点D在BC边上时，CD最小，此时 
，
∵
，
∴线段
长的最小值为 ；
（3）在y轴上取点，连接，在点P所在的圆O上取一点 ，连接，依题意作，使，连接 ，
,
，
，
，
∴
，
，
．
同理，
，
．
，
，
∴点M在以为圆心的圆上运动， ，
∴OM的最小值为
．
如图，此时M点在y轴上，设此时P点为
，过点作
轴于点E，延长
，过点B作
于点F，
∵
，
．
，
．
在
和
中，
，
．
设，
解得
∴此时P的坐标为
．
