题目内容

【题目】已知:正方形ABCD,等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处,使三角板绕点D旋转.

(1)当三角板旋转到图1的位置时,猜想CE与AF的数量关系,并加以证明;

(2)在(1)的条件下,若DE:AE:CE= 1: :3,求∠AED的度数;

(3)若BC= 4,点M是边AB的中点,连结DM,DM与AC交于点O,当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2),若OF=,求CN的长.

【答案】(1)CE=AF;证明见解析;(2)135°;(3).

【解析】试题分析:1)由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可;

2)设DE=k,表示出AECEEF,判断出△AEF为直角三角形,即可求出∠AED

3)由ABCD,得出,求出DMDO,再判断出△DFN∽△DCO,得到 ,求出DN即可.

试题解析:

1CE=AF

证明:在正方形ABCD,等腰直角三角形CEF中,

FD=DECD=CAADC=EDF=90°

∴∠ADF=CDE

∴△ADF≌△CDE

CE=AF

2)设DE=k

DEAECE=1 3

AE=kCE=AF=3k

EF=k

AE2+EF2=7k2+2k2=9k2AF2=9k2

AE2+EF2=AF2

∴△AEF为直角三角形,

∴∠BEF=90°

∴∠AED=AEF+DEF=90°+45°=135°

3MAB中点,

MA=AB=AD

ABCD

RtDAM中,DM=

DO=

OF=

DF=,

∵∠DFN=DCO=45°FDN=CDO

∴△DFN∽△DCO

,

,

DN=,

CN=CD-DN=4-=.

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