Question

如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，∠ABC=60°，AB=1，E、F分别是线段BO、DO上不与点O重合的点，且BE=DF．
（1）探究：当BC的长为多少时，四边形AECF是菱形？并说明理由．
（2）当四边形AECF是正方形时，求DF的长．

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形性质求出OE=OF，得到平行四边形AECF，根据菱形的性质推出AC⊥BD即可；
（2）根据含30度角的之间三角形性质和勾股定理求出OE、OF，OA、OC，BD，即可求出答案．

解答：解：（1）当BC=1时，四边形AECF是菱形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OB-BE=OD-DF，
即OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
当BC=AB=1时，平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
即AC⊥EF，∴平行四边形AECF是菱形．

（2）由于正方形是特殊的菱形，由（1）知，此时四边形ABCD和AECF均为菱形．
∵∠ABC=60°，AB=1，AC⊥BD，
∴△ADC和△ABC均为等边三角形，且AO=CO=

1

2

，BO=DO=

3

2

，
当四边形AECF是正方形时，EO=FO=AO=CO=

1

2

，
∴DF=DO-FO=

3

2

-

1

2

=

3 -1

2

，
答：DF长是

3 -1

2

．

点评：本题主要考查对正方形的性质，菱形的判定，平行四边形的性质和判定，勾股定理，含30度角的之间三角形等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．