题目内容
【题目】如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C、F、O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD,则BF=CD.
解决问题
(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②,猜想此时线段BF与CD的数量关系,并证明你的结论;
(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立,请说明理由;如不成立,请求出BF与CD之间的数量关系;
(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出的值(用含α的式子表示出来)
【答案】(1) BF=CD.证明见解析;(2)(1)中的结论不成立.理由见解析;(3)=tan.
【解析】
试题分析:(1)如答图②所示,连接OC、OD,证明△BOF≌△COD;
(2)如答图③所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,相似比为;
(3)如答图④所示,连接OC、OD,证明△BOF∽△COD,相似比为tan.
试题解析:(1)猜想:BF=CD.理由如下:
如答图②所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等腰直角三角形,点O为斜边AB的中点,
∴OB=OC,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰直角三角形,点O为斜边EF的中点,
∴OF=OD,∠DOF=90°.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
∵在△BOF与△COD中,
∴△BOF≌△COD(SAS),
∴BF=CD.
(2)答:(1)中的结论不成立.
如答图③所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等边三角形,点O为边AB的中点,
∴=tan30°=,∠BOC=90°.
∵△DEF为等边三角形,点O为边EF的中点,
∴=tan30°=,∠DOF=90°.
∴.
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中,
∵,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴
(3)如答图④所示,连接OC、OD.
∵△ABC为等腰三角形,点O为底边AB的中点,
∴=tan,∠BOC=90°.
∵△DEF为等腰三角形,点O为底边EF的中点,
∴=tan,∠DOF=90°.
∴==tan
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF,
∴∠BOF=∠COD.
在△BOF与△COD中,
∵==tan,∠BOF=∠COD,
∴△BOF∽△COD,
∴=tan.