Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D点，O是AB上一点，经过A、D两点的⊙O分别交AB、AC于点E、F．
（1）用尺规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BC与⊙O相切；
（3）当AD=2 ，∠CAD=30°时，求劣弧AD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图所示

（2）证明：连结OD，则OD=OA，

∴∠OAD=∠ODA，

∵∠OAD=∠CAD，

∴∠ODA=∠CAD，

∴OD∥AC，

∵∠C=90°，

∴∠ODC=90°，

即BC⊥OD，

∴BC与⊙O相切

（3）解：连接DE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

∵∠OAD=∠ODA=30°，

∴∠AOD=120°，在

Rt△ADE中，

AE= = =4，

∴⊙O的半径=2，

∴劣弧AD的长= = π

【解析】（1）作AD的垂直平分线交AC于O，以AO为半径画圆O分别交AB、AC于点E、F，则⊙O即为所求；（2）连结OD，得到OD=OA，根据等腰三角形的性质得到∠OAD=∠ODA，等量代换得到∠ODA=∠CAD，根据平行线的判定定理得到OD∥AC，根据平行线的性质即可得到结论；（3）连接DE，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=120°，根据三角函数的定义得到AE= =4，根据弧长个公式即可得到结论．