题目内容
【题目】△ABC中，∠BAC=α°，AB=AC，D是BC上一点，将AD绕点A顺时针旋转α°，得到线段AE，连接BE．
（1）（特例感知）如图1，若α=90，则BD+BE与AB的数量关系是 ．
（2）（类比探究）如图2，若α=120，试探究BD+BE与AB的数量关系，并证明．
（3）（拓展延伸）如图3，若α=120，AB=AC=4，BD=
，Q为BA延长线上的一点，将QD绕点Q顺时针旋转120°，得到线段QE，DE⊥BC，求AQ的长．
【答案】（1）
；（2）
，见解析；（3）
【解析】
（1）根据SAS可证△ABE≌△ACD，进而可得BE=CD，结合BD+CD=BC可得BD+ BE=BC，再根据等腰直角三角形中BC=
即可证得；
（2）过点A作AH⊥BC，根据∠BAC=120°，AB=AC可得∠ABC=30°，
，则
，由（1）可知BD+ BE=BC，由此即可得；
（3）过Q点作QF∥AC交BC延长线于点F，先证∠BQF =120°，BQ=QF，进而可由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，
，进而可证得
，再根据cos∠EBD=
=cos60°=可求得
，进而求得
，最后根据AQ=BQ－AB即可得到答案．
解：（1）
理由如下：
∵∠EAD=∠BAC=90°
∴∠EAB=∠DAC
在△ABE与△ACD中，
∴△ABE≌△ACD（SAS）
∴BE=CD，
∵BD+CD=BC
∴BD+ BE=BC
∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴BC=
∴BD+ BE=；
（2）结论：，
理由如下：
过点A作AH⊥BC，
∵∠BAC=120°，AB=AC
∴∠ABC=30°，
在Rt△ABH中，cos∠ABH=
=cos30°=
∴BH=AB，
∴
由（1）同理可知BD+ BE=BC，
∴；
（3）过Q点作QF∥AC交BC延长线于点F，
∴
∴∠QFC=∠QBF =30°，∠BQF =120°
∴BQ=QF
由（2）同理可知，△QBE≌△QFD，
∴cos∠EBD==cos60°=
∵
，
∴AQ=BQ－AB=．
