题目内容
【题目】如图,在△ABC中,AB=BC,AD⊥BC于点D,BE⊥AC于点E,AD与BE交于点F,BH⊥AB于点B,点M是BC的中点,连接FM并延长交BH于点H.
(1)如图①所示,若∠ABC=30°,求证:DF+BH=BD;
(2)如图②所示,若∠ABC=45°,如图③所示,若∠ABC=60°(点M与点D重合),猜想线段DF、BH与BD之间又有怎样的数量关系?请直接写出你的猜想,不需证明.
【答案】(1)见解析;(2)DF+BH=BD;理由见解析
【解析】
(1)连接CF,由垂心的性质得出CF⊥AB,证出CF∥BH,由平行线的性质得出∠CBH=∠BCF,证明△BMH≌△CMF得出BH=CF,由线段垂直平分线的性质得出AF=CF,得出BH=AF,AD=DF+AF=DF+BH,由直角三角形的性质得出AD=BD,即可得出结论;
(2)同(1)可证:AD=DF+AF=DF+BH,再由等腰直角三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质即可得出结论.
(1)证明:连接CF,如图①所示:
∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴CF⊥AB,
∵BH⊥AB,
∴CF∥BH,
∴∠CBH=∠BCF,
∵点M是BC的中点,
∴BM=MC,
在△BMH和△CMF中,
,
∴△BMH≌△CMF(ASA),
∴BH=CF,
∵AB=BC,BE⊥AC,
∴BE垂直平分AC,
∴AF=CF,
∴BH=AF,
∴AD=DF+AF=DF+BH,
∵在Rt△ADB中,∠ABC=30°,
∴AD=BD,
∴DF+BH=BD;
(2)解:图②猜想结论:DF+BH=BD;理由如下:
同(1)可证:AD=DF+AF=DF+BH,
∵在Rt△ADB中,∠ABC=45°,
∴AD=BD,
∴DF+BH=BD;
图③猜想结论:DF+BH=BD;理由如下:
同(1)可证:AD=DF+AF=DF+BH,
∵在Rt△ADB中,∠ABC=60°,
∴AD=BD,
∴DF+BH=BD.
