Question

如图，是的直径，弦，是弦的中点，．若动点以的速度从点出发沿着方向运动，设运动时间为，连结，当值为　　   　　　时，是直角三角形．

Answer 1

1或1.75或2.25s

若△BEF是直角三角形，则有两种情况：①∠BFE=90°，②∠BEF=90°；在上述两种情况所得到的直角三角形中，已知了BC边和∠B的度数，即可求得BE的长；AB的长易求得，由AE=AB-BE即可求出AE的长，也就能得出E点运动的距离（有两种情况），根据时间=路程÷速度即可求得t的值．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°；
Rt△ABC中，BC=2，∠ABC=60°；
∴AB=2BC=4cm；
①当∠BFE=90°时；
∵Rt△BEF中，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4cm，
∵F是弦BC的中点，
∴当△BEF是直角三角形时点E与点O重合，
∴BE=2BF=2cm；
故此时AE=AB-BE=2cm；
∴E点运动的距离为：2cm或6cm，故t=1s或3s；
由于0≤t＜3，故t=3s不合题意，舍去；
所以当∠BFE=90°时，t=1s；
②当∠BEF=90°时；
同①可求得BE=BF=0.5cm，此时BE=AB-AE=3.5cm；
∴E点运动的距离为：3.5cm或4.5cm，故t=1.75s或2.25s；
综上所述，当t的值为1、1.75或2.25s时，△BEF是直角三角形．
此题主要考查了圆周角定理以及直角三角形的判定和性质，同时还考查了分类讨论的数学思想．