Question

在⊙O中，弦AB将圆分成了1：4两部分，点D是⊙O上一点（不与A、B重合），过点D作DE⊥AB于点E，以点D为圆心、DE长为半径作⊙D，分别过点A、B作⊙D的切线，两条切线相交于点C，则∠C=___________。

Answer 1

108°

根据切线的判定定理得出AB与⊙D相切于E点，进而得出⊙D是△ABC的内切圆，根据弦AB将圆分成了1：4两部分，得出∠AOB=72°，以及∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，进而得出∠ACB的度数．
解：连接AD，BD，OA，OB，
∵DE⊥AB于点E，点D为圆心、DE长为半径作⊙D，
∴AB与⊙D相切于E点，又∵过点A、B作⊙D的切线，
∴⊙D是△ABC的内切圆，
∵弦AB将圆分成了1：4两部分，
∴∠AOB=72°，可得：∠MOB=36°，
∴∠ADB=144°，
∵∠DAB+∠DBA+∠ADB=180°，
∴∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，
∴∠CAB+∠CBA=72°，
∴∠ACB的度数为：180°-72°=108°，
故答案为：108°．
此题主要考查了三角形内切圆性质与圆周角定理和垂径定理等知识，题目综合性较强，得出∠DAB+∠DBA=180°-144°=36°，是解决问题的关键．