Question

已知关于x的方程x²-（2k+1）x+4（k-

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）=0．
（1）求证：无论k取什么实数值，这个方程总有实根．
（2）若等腰△ABC的一边长a=4，另两边b、c恰好是这个方程的两根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）先把方程化为一般式：x²-（2k+1）x+4k-2=0，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明△≥0；
（2）先利用因式分解法求出两根：x₁=2，x₂=2k-1．先分类讨论：若a=4为底边；若a=4为腰，分别确定b，c的值，求出三角形的周长．

解答：（1）证明：方程化为一般形式为：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
∵△=（2k+1）²-4（4k-2）=（2k-3）²，
而（2k-3）²≥0，
∴△≥0，
所以无论k取任何实数，方程总有两个实数根；

（2）解：x²-（2k+1）x+4k-2=0，
整理得（x-2）[x-（2k-1）]=0，
∴x₁=2，x₂=2k-1，
当a=4为等腰△ABC的底边，则有b=c，
因为b、c恰是这个方程的两根，则2=2k-1，
解得k=

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，则三角形的三边长分别为：2，2，4，
∵2+2=4，这不满足三角形三边的关系，舍去；
当a=4为等腰△ABC的腰，
因为b、c恰是这个方程的两根，所以只能2k-1=4，
则三角形三边长分别为：2，4，4，
此时三角形的周长为2+4+4=10．
所以△ABC的周长为10．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△=b²-4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．同时考查了分类思想的运用、等腰三角形的性质和三角形三边的关系．