题目内容
【题目】（定义新知）在数轴上，点M和点N分别表示数x1和x2 ，可以用绝对值表示点M、N两点间的距离d (M，N)，即d (M，N)＝|x1－x2|．
（初步应用）
（1）在数轴上，点A、B、C分别表示数－1、2、x， 解答下列问题：
①d (A，B)＝ ；
②若d(A，C)＝2，则x的值为 ；
③若d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，且x为整数，则x的取值有 个．
（综合应用）
（2）在数轴上，点D、E、F分别表示数－2、4、6．动点P沿数轴从点D开始运动，到达F点后立刻返回，再回到D点时停止运动．在此过程中，点P的运动速度始终保持每秒2个单位长度．设点P的运动时间为t秒．
①当t＝ 时，d(D，P)＝3；
②在整个运动过程中，请用含t的代数式表示d(E，P)．
【答案】(1)①3；②1或－3；③4；(2)① t＝1.5或6.5；②当0＜t≤4时，d(E，P) ＝|6－2t|，当4＜t≤8时，d(E，P) ＝|2t－10|
【解析】
（1）①根据题意，d (A，B)表示A、B两点之间的距离，A、B表示的数代入计算即可；
②根据d(A，C)＝2，列方程求解即可；
③根据d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，列出方程，分情况讨论，再根据x为整数判断即可；
（2）①先计算出点P从D到F的时间，然后进行分情况讨论，分别求出点P所对应的数，再列方程求解即可；
②根据①中求出的点P所对应的数，进行列式即可.
解：（1）①d (A，B)=|－1－2|=3；
②∵d(A，C)＝2，
∴|－1－x|=2，即－1－x=2或－1－x=－2；
∴x=－3或1；
③∵d(A，C)＋d(B，C)＝d(A，B)，
∴|－1－x|+|2－x|=3，
当
时，|－1－x|+|2－x|=－1－x+2－x=3，x=－1，
当
时，|－1－x|+|2－x|=1+x+2－x=3，x取0、1、2，
当
时，|－1－x|+|2－x|=1+x+x－2=3，x=2，
综上所述，x的取值有4个；
（2）由题可得，d(D，F) =8，点P从D到F的时间为4秒，运动路程为2t，
①当
时，点P表示的数为2t－2，则
d(D，P)＝|－2－(2t－2)|=3，解得t=
或
（舍去），
当
时，点P表示的数为14－2t，则
d(D，P)＝|－2－(14－2t)|=3，解得t=
（舍去）或
，
综上所述，t＝1.5或6.5；
② 当时，点P表示的数为2t－2，则d(E，P)=|4－(2t－2)|=|6－2t|，
当时，点P表示的数为14－2t，则d(E，P)=|4－(14－2t)|=|2t－10|.
另解：
当0＜t≤3时，d(E，P) ＝6－2t，
当3＜t≤4时，d(E，P) ＝2t－6，
当4＜t≤5时，d(E，P) ＝10－2t，
当5＜t≤8时，d(E，P) ＝2t－10.
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