Question

【题目】已知：△ABC中AB=AC，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q.

探究:（1）线段QM、PM、AB之间有什么关系？并说明你的理由.

（2）当M位于BC的什么位置时, 四边形AQMP是菱形？并说明你的理由.

（3）当△ABC满足什么条件菱形AQMP是正方形？

Answer 1

【答案】（1）AB=QM+PM，证明见解析；（2）当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形，证明见解析；（3）当∠A＝90°时, 菱形AQMP为正方形.

【解析】（1）根据平行四边形的判定得出平行四边形AQMP，求出BQ＝MQ即可；

（2）求出AQ＝QM，根据菱形的判定推出即可；

（3）根据有一个角是直角的菱形是正方形求解即可.

（1）AB=QM+PM

证明：∵PM‖AB,QM‖AC

∴四边形AQMP为平行四边形

∴PM＝AQ

∵QM‖AC

∴∠C=∠QMB

∵AB=AC

∴∠C=∠B

∴∠B=∠QMB

∴BQ=MQ

∵AB=AQ+BQ

∴AB=QM+PM

（2）当M为底边BC的中点时,四边形AQMP为菱形

证明：连接AM

∵M为底边BC的中点，AB=AC

∴∠BAM＝∠MAC

∵PM‖AB

∴∠BAM＝∠AMP

∴∠MAC＝∠AMP

∴PA＝PM

∴平行四边形AQMP为菱形

(3)当∠A＝90°时, 菱形AQMP为正方形

由（2）知，四边形AQMP为菱形，

∵∠A＝90°，

∴菱形AQMP为正方形.