题目内容
【题目】如图所示,在△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,D为AB中点,如果点P在线段BC上由点B出发向点C运动,同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动,设运动时间为t(s).
(1)若点P与点Q的速度都是2cm/s,问经过多少时间△BPD与△CQP全等?说明理由;
(2)若点P的速度比点Q的速度都慢2cm/s,则经过多少时间△BPD与△CQP全等,并求出此时两点的速度;
(3)若点P、点Q分别以(2)中速度同时从B、C出发,都逆时针沿△ABC三边运动,问经过多少时间点P与点Q第一次相遇,相遇点在△ABC的哪条边上?并求出相遇点与点B的距离.
【答案】(1)经过3s△BPD与△CQP全等;(2)当运动时间为1s时,△BPD与△CPQ全等,此时点P的速度为8cm/s,点Q的速度为10cm/s;(3)第一次相遇在AB边上,此时相遇点与点B的距离8cm.
【解析】
(1)根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C,由点P、Q同速同时出发可得出BP=CQ,结合全等三角形的判定定理可得出当BD=CP时△BPD与△CQP全等,进而即可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论;
(2)设点P的速度为xcm/s,则点Q的速度为(x+2)cm/s,由BP≠CQ、∠B=∠C结合全等三角形的性质可得出BD=CQ、BP=CP=8,进而即可得出关于t、x的方程组,解之即可得出结论;
(3)根据路程=速度×时间结合点P、Q相遇,即可得出关于t的一元一次方程,解之可求出t值,由点Q的路程=点Q的速度×运动时间可求出点Q的路程,再结合CA、AB、BC的长度,即可找出点P、Q第一次相遇时的位置,此题得解.
解:(1)∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵点P与点Q的速度都是2cm/s,
∴BP=CQ,
∴当BD=CP时,△BPD与△CQP全等,即10=16﹣2t,
解得t=3,
∴经过3s△BPD与△CQP全等.
(2)设点P的速度为xcm/s,则点Q的速度为(x+2)cm/s.
∵BP≠CQ,∠B=∠C,
∴BD=CQ,BP=CP=8,
∴ ,
解得:.
∴当运动时间为1s时,△BPD与△CPQ全等,此时点P的速度为8cm/s,点Q的速度为10cm/s.
(3)根据题意得:10t=40+8t,
解得:t=20,
∴Q的路程=10×20=200(cm),
∵200=(20+20+16)×3+20+12,20﹣12=8,
∴第一次相遇在AB边上,此时相遇点与点B的距离8cm.