题目内容

【题目】如图所示,在△ABC中,ABAC20cmBC16cmDAB中点,如果点P在线段BC上由点B出发向点C运动,同时点Q在线段CA上由点C出发向点A运动,设运动时间为ts).

1)若点P与点Q的速度都是2cm/s,问经过多少时间△BPD与△CQP全等?说明理由;

2)若点P的速度比点Q的速度都慢2cm/s,则经过多少时间△BPD与△CQP全等,并求出此时两点的速度;

3)若点P、点Q分别以(2)中速度同时从BC出发,都逆时针沿△ABC三边运动,问经过多少时间点P与点Q第一次相遇,相遇点在△ABC的哪条边上?并求出相遇点与点B的距离.

【答案】(1)经过3sBPD与△CQP全等;(2)当运动时间为1s时,△BPD与△CPQ全等,此时点P的速度为8cm/s,点Q的速度为10cm/s;(3)第一次相遇在AB边上,此时相遇点与点B的距离8cm

【解析】

1)根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C,由点PQ同速同时出发可得出BPCQ,结合全等三角形的判定定理可得出当BDCP时△BPD与△CQP全等,进而即可得出关于t的一元一次方程,解之即可得出结论;

2)设点P的速度为xcm/s,则点Q的速度为(x+2cm/s,由BPCQ、∠B=∠C结合全等三角形的性质可得出BDCQBPCP8,进而即可得出关于tx的方程组,解之即可得出结论;

3)根据路程=速度×时间结合点PQ相遇,即可得出关于t的一元一次方程,解之可求出t值,由点Q的路程=点Q的速度×运动时间可求出点Q的路程,再结合CAABBC的长度,即可找出点PQ第一次相遇时的位置,此题得解.

解:(1)∵ABAC

∴∠B=∠C

∵点P与点Q的速度都是2cm/s

BPCQ

∴当BDCP时,△BPD与△CQP全等,即10162t

解得t3

∴经过3sBPD与△CQP全等.

2)设点P的速度为xcm/s,则点Q的速度为(x+2cm/s

BPCQ,∠B=∠C

BDCQBPCP8

解得:

∴当运动时间为1s时,△BPD与△CPQ全等,此时点P的速度为8cm/s,点Q的速度为10cm/s

3)根据题意得:10t40+8t

解得:t20

Q的路程=10×20200cm),

200=(20+20+16)×3+20+1220128

∴第一次相遇在AB边上,此时相遇点与点B的距离8cm

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