Question

如图，已知直线l₁∥l₂，直线l₃和直线l₁、l₂交于点C和D，在直线CD上有一点P．

（1）如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．
（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

Answer 1

∠APB＝∠PAC+∠PBD；∠APB＝∠PAC+∠PBD

试题分析：（1）若P点在C、D之间运动时，则有∠APB＝∠PAC+∠PBD.
理由是：过点P作PE∥l₁，则∠APE＝∠PAC，
又因为l₁∥l₂，所以PE∥l₂，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APE+∠BPE＝∠PAC+∠PBD，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.

（2）若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），则有两种情形：
①如图1，有结论：∠APB＝∠PBD－∠PAC.

理由是：过点P作PE∥l₁，则∠APE＝∠PAC，
又因为l₁∥l₂，所以PE∥l₂，所以∠BPE＝∠PBD，
所以∠APB＝∠BAE+∠APE，即∠APB＝∠PBD－∠PAC.　　　　　　   4分
②如图2，有结论：∠APB＝∠PAC－∠PBD.

理由是：过点P作PE∥l₂，则∠BPE＝∠PBD，
又因为l₁∥l₂，所以PE∥l₁，所以∠APE＝∠PAC，
所以∠APB＝∠APE+∠BPE，即∠APB＝∠PAC+∠PBD.　　
点评：本题属于对角度变换的基本知识的理解和运用