Question

如图，正方形ABCD中，P为对角线BD上一点（P点不与B、D重合），PE⊥BC于E，PF⊥DC于F，连接EF，猜想AP与EF的关系并证明你的结论.

Answer 1

AP⊥EF，AP=EF

试题分析：
解：AP⊥EF，AP=EF
方法1：延长FP交AB于M
延长AP交EF于N
可证四边形MFCB为矩形
得MF=BC
四边形ABCD为正方形
得AB=BC
∴MF=AB
可证PM=BM
∴AM=PF
可证△AMP≌△FPE得AP=EF
得∠PFE=∠MAP
∵∠FPN=∠MPA
∴∠PNF=∠AMP=90°
∴AP⊥EF
方法2：连接PC交EF于O
证四边形PFCE为矩形
得PC=EF
证△APD≌△CPD
得PC=AP
∴EF=AP
∵四边形PFCE为矩形
可证OF=OC
得∠OFC=∠OCF
∵∠PFC=90°
∴∠PFO+∠OFC=90°
∴∠PFO+∠OCF=90°
∵△APD≌△CPD
∴∠DAP=∠DCP
∴∠PFO+∠DAP=90°
∵四边形DANF内角和为360°
即∠DAN+∠ADF+∠NFP+∠PFD+∠ANF=360°
可证∠ANF=90°
∴AP⊥EF于N

点评：此类试题，线与线的关系有相等和垂直，相等可通过证明全等三角形对应边求得，垂直可通过证明全等三角形对应角相等，再进行等量代换。