Question

如图所示，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S₁、S₂、S₃、S₄，给出如下结论：
①S₁+S₂=S₃+S₄；②S₂+S₄=S₁+S₃；③若S₃=2S₁，则S₄=2S₂；④若S₁=S₂，则P点在矩形的对角线上。
其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）．

Answer 1

②④

试题分析：根据三角形面积求法以及矩形性质得出S₁+S₃=矩形ABCD面积，以及，，即可得出P点一定在AC上．
过点P分别作PF⊥AD于点F，PE⊥AB于点E

∵△APD以AD为底边，△PBC以BC为底边，
∴此时两三角形的高的和为AB，即可得出S₁+S₃=矩形ABCD面积；
同理可得出S₂+S₄=矩形ABCD面积；
∴②S₂+S₄=S₁+S₃正确，则①S₁+S₂=S₃+S₄错误，
③若S₃=2S₁，只能得出△APD与△PBC高度之比，S₄不一定等于2S₂；故此选项错误；
④若S₁=S₂，×PF×AD=PE×AB，
∴△APD与△PBA高度之比为
∴四边形AEPF是矩形，
∴此时矩形AEPF与矩形ABCD相似，
∴
∴P点在矩形的对角线上．
故④选项正确，
故答案为：②和④．
点评：特殊四边形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，贯穿于整个初中数学的学习，与各个知识点联系极为容易，是中考的热点.