Question

如图，抛物线y=ax²+bx-4与x轴交于A（4，0）、B（-2，0）两点，与y轴交于点C，点P是线段AB上一动点（端点除外），过点P作PD∥AC，交BC于点D，连接CP．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点P运动到何处时，BP²=BD•BC；
（3）当△PCD的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意，得

16a+4b-4=0 4a-2b-4=0

，
解得

a= 1 2 b=-1

，
∴抛物线的解析式为y=

1

2

x2-x-4；

（2）设点P运动到点（x，0）时，有BP²=BD•BC，
令x=0时，则y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．
∵PD∥AC，
∴△BPD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

BP

BA

．
∵BC=

BO2+OC2

=

22+42

=2

5

，
AB=6，BP=x-（-2）=x+2．
∴BD=

BP×BC

BA

=

2 5 (x+2)

6

=

5 (x+2)

3

．
∵BP²=BD•BC，
∴（x+2）²=

5 (x+2)

3

×2

5

，
解得x₁=

4

3

，x₂=-2（-2不合题意，舍去），
∴点P的坐标是（

4

3

，0），即当点P运动到（

4

3

，0）时，BP²=BD•BC；

（3）∵△BPD∽△BAC，
∴

S△BPD

S△BAC

=(

BP

AB

)2，
∴S△BPD=(

BP

AB

)2•S△BAC=(

x+2

6

)2×

1

2

×6×4=

(x+2)2

3

S_△PDC=S_△PBC-S_△PBD=

1

2

×（x+2）×4-

(x+2)2

3

=-

1

3

(x-1)2+3
∵-

1

3

＜0，
∴当x=1时，S_△PDC有最大值为3．
即点P的坐标为（1，0）时，△PDC的面积最大．