Question

【题目】如图，已知△ABD和△CEF都是斜边为2cm的全等直角三角形，其中∠ABD=∠FEC=60°，且B、D、C、E都在同一直线上，DC=4．

（1）求证：四边形ABFE是平行四边形．
（2）△ABD沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，设△ABD运动的时间为t秒，
①当t为何值时，ABFE是菱形？请说明你的理由．
②ABFE有可能是矩形吗？若可能，求出t的值及此矩形的面积；若不可能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵已知△ABD和△CEF都是斜边为2cm的全等直角三角形，

∴AB=EF，

∵∠ABD=∠FEC，

∴AB∥EF，又AB=EF，

∴四边形ABFE是平行四边形

（2）

①当t=4时，ABFE是菱形．

理由如下：∵△ABD沿着BE的方向以每秒1cm的速度运动，

4秒后，△ABD移动的距离为4÷1=4，又DC=4，

∴D与C重合，

∴AF⊥BE，又四边形ABFE是平行四边形，

∴四边形ABFE是菱形；

②当四边形ABFE是矩形时，∠BAE=90°，

∵∠ABD=60°，

∴∠BEA=30°，

∴BE=2AB=4，AE= =2 ，

∵∠ABD=60°，AB=2，

∴BD=1，同理CE=1，

∴CD=4﹣1﹣1=2，

t=2÷1=2秒，矩形的面积=AB×AE=4 cm2

【解析】（1）根据全等三角形的性质得到AB=EF，根据平行线的判定定理证明AB∥EF，根据平行四边形的判定定理证明结论；（2）①根据△ABD的移动速度和时间得到D与C重合，根据菱形的判定定理解答即可；②根据矩形的性质和正弦的定义求出BE，根据正切的定义求出AE，求出CD的长，得到t的值，根据矩形的面积公式求出面积．
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积．