Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是射线CB上的动点，点F是射线CD上一点，且AF⊥AE，射线EF与对角线BD交于点G，与射线AD交于点M；

（1）当点E在线段BC上时，求证：△AEF∽△ABD；
（2）在（1）的条件下，联结AG，设BE=x，tan∠MAG=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）当△AGM与△ADF相似时，求BE的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°，

∵AF⊥AE，

∴∠EAF=90°，

∴∠BAD=∠EAF，

∴∠BAE=∠DAF，∵∠ABE=∠ADF=90°，

∴△ABE∽△ADF，

∴ = ，

∴ = ，∵∠BAD=∠EAF，

∴△AEF∽△ABD．

（2）

解：如图连接AG．

∵△AEF∽△ABD，

∴∠ABG=∠AEG，

∴A、B、E、G四点共圆，

∴∠ABE+∠AGE=180°，

∵∠ABE=90°，

∴∠AGE=90°，

∴∠AGM=∠MDF，

∴∠AMG=∠FMD，

∴∠MAG=∠EFC，

∴y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，

∵△ABE∽△ADF，

∴ = ，

∴DF= x，

∴y= ，

即y= （0≤x≤4）．

（3）

解：①如图2中，当点E在线段CB上时，

∵△AGM∽ADF，

∴tan∠MAG= = ，

∴ = ，

解得x= ．

②如图3中，当点E在CB的延长线上时，

由△MAG∽△AFD∽△EFC，

∴ = ，

∴ = ，

解得x=1，

∴BE的长为 或1．

【解析】（1）首先证明△ABE∽△ADF，推出 = ，推出 = ，因为∠BAD=∠EAF，即可证明△AEF∽△ABD．（2）如图连接AG．由△AEF∽△ABD，推出∠ABG=∠AEG，推出A、B、E、G四点共圆，推出∠ABE+∠AGE=180°，由∠ABE=90°，推出∠AGE=90°，推出∠AGM=∠MDF，推出∠AMG=∠FMD，推出∠MAG=∠EFC，推出y=tan∠MAG=tan∠EFC= ，由△ABE∽△ADF，得 = ，得DF= x，由此即可解决问题．（3）分两种情形①如图2中，当点E在线段CB上时，②如图3中，当点E在CB的延长线上时，分别列出方程求解即可．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．