Question

（2012•沙县质检）如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论：
①射线BD是∠ABC的角平分线；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．

Answer 1

分析：（1）正确的结论是①和②；
（2）若选择①，根据MN为线段AB的中垂线，利用线段垂直平分线定理得到DA=DB，再根据等边对等角可得∠A=∠ABD，由等腰三角形ABC及顶角的度数求出底角的度数，利用∠DBC=∠ABC-∠ABD求出∠DBC的度数，进而得到∠ABD=∠DBC，即BD为角平分线；
若选择②，由①求出的∠C和∠DBC的度数，求出∠BDC的度数，发现∠C=∠BDC，根据等角对等边可得BD=BC，即三角形BCD为等腰三角形．

解答：解：（1）正确的结论是①、②；

（2）若①正确，理由如下：
∵MN是AB的中垂线，
∴DA=DB，
则∠A=∠ABD=36°，
又等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠C=∠ABC=72°，∴∠DBC=36°，
则BD是∠ABC的平分线；
若②正确，理由如下：
由①知：∠C=72°，∠DBC=36°，
∴∠BDC=72°，即∠C=∠BDC，
∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形．

点评：此题考查了线段垂直平分线定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，要求学生借助图形，熟练运用定理及性质，利用转化的思想达到解决问题的目的．