Question

【题目】二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象是抛物线，定义一种变换，先作这条抛物线关于原点对称的抛物线y′，再将得到的对称抛物线y′向上平移m（m＞0）个单位，得到新的抛物线ym，我们称ym叫做二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的m阶变换．

（1）已知：二次函数y＝2（x+2）2+1，它的顶点关于原点的对称点为　 　，这个抛物线的2阶变换的表达式为　 　．

（2）若二次函数M的6阶变换的关系式为y6′＝（x﹣1）2+5．

①二次函数M的函数表达式为　 　．

②若二次函数M的顶点为点A，与x轴相交的两个交点中左侧交点为点B，在抛物线y6′＝（x﹣1）2+5上是否存在点P，使点P与直线AB的距离最短，若存在，求出此时点P的坐标．

（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，该抛物线的m阶变换的顶点为点C．若△ABC是以AB为腰的等腰三角形,请直按写出m的值．

Answer 1

【答案】（1）（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；（2）存在，点P（，），（3）8+或8﹣或8或2．

【解析】

（1）原二次函数的顶点为（-2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，-1），即可求解；（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，-1），则函数M的顶点为：（-1，1），即可求解；②DP =PH=（x2-2x+6-x-2）=（x2-3x+4），即可求解；

（3）点A（-1，4）、点B（0，1），抛物线的m阶变换的函数表达式为：y=3（x-1）2-4+m，故点C（1，m-4），即可求解．

解：（1）原二次函数的顶点为（﹣2，1），则顶点关于原点的对称点为（2，﹣1），

则这个抛物线的2阶变换的表达式：y＝﹣2（x﹣2）2﹣1，

故答案为：（2，﹣1），y＝﹣2（x﹣2）2﹣1；

（2）①6阶变换的关系式对应的函数顶点为：（1，﹣1），则函数M的顶点为：（﹣1，1），

则其表达式为：y＝﹣（x+1）2+1，

故答案为：y＝﹣（x+1）2+1；

②存在，理由：

y＝﹣（x+1）2+1，令y＝0，则x＝﹣2或0，

故点B（﹣2，0），而点A（﹣1，1），

将点A、B的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，

故直线AB的函数表达式为：y＝x+2，

y6′＝（x﹣1）2+5＝x2﹣2x+6，

如下图，过点P作PD⊥AB交于点D，故点P作y轴的平行线交AB于点H，

∵直线AB的倾斜角为45°，则DP＝PH，

设点P（x，x2﹣2x+6），则点H（x，x+2），

DP＝PH＝（x2﹣2x+6﹣x﹣2）＝（x2﹣3x+4），

∵＞0，故DP有最小值，此时x＝，

故点P（，）；

（3）抛物线y＝﹣3x2﹣6x+1的顶点为点A，与y轴交于点B，

则点A（﹣1，4）、点B（0，1），

抛物线的m阶变换的函数表达式为：y＝3（x﹣1）2﹣4+m，

故点C（1，m﹣4），

则AB2＝10，AC2＝4+（m﹣8）2，BC2＝1+（m﹣5）2，

当AB＝AC时，10＝4+（m﹣8）2，解得：m＝8；

当AB＝BC时，同理可得：m＝8或2，

故m的值为：8+或8﹣或8或2．