Question

【题目】如图，抛物线y=ax2+4x+c与x轴交于A、B两点，交y轴交于点C，直线y=-x+5经过点B、C．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点D（1，0），点P为对称轴上一动点，连接BP、CP．

①若∠CPB=90°，求点P的坐标；

②点Q为抛物线上一动点，若以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+4x+5；（2）①点P的坐标为（2，-1）或（2，6）②点P的坐标为（2，3），（2，5）或（2，13）．

【解析】

（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B，C的坐标，由点B，C的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）①利用二次函数的性质可求出抛物线对称轴为直线x=2，设点P的坐标为（2，m），结合点B，C的坐标可得出BC2，CP2，BP2的值，由∠CPB=90°利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出点P的坐标；

②设点P的坐标为（2，n），分CD为边及CD为对角线两种情况考虑：（i）若CD为边，当四边形CDPQ（CDQP）为平行四边形时，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标；（ii）若CD为对角线，四边形CPDQ为平行四边形，由点C，D，P的坐标结合平行四边形的对角线互相平分可得出点Q的坐标，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．

解：（1）当x=0时，y=-x+5=5，

∴点C的坐标为（0，5）；

当y=0时，-x+5=0，

解得：x=5，

∴点B的坐标为（5，0）．

将B（5，0），C（0，5）代入y=ax2+4x+c，得：

，解得：，

∴抛物线的表达式为y=-x2+4x+5．

（2）①∵抛物线的表达式为y=-x2+4x+5，

∴抛物线的对称轴为直线x=-=2，

∴设点P的坐标为（2，m）．

∵点B的坐标为（5，0），点C的坐标为（0，5），

∴CP2=（2-0）2+（m-5）2=m2-10m+29，BP2=（2-5）2+（m-0）2=m2+9，BC2=（0-5）2+（5-0）2=50．

∵∠CPB=90°，

∴BC2=CP2+BP2，即50=m2-10m+29+m2+9，

解得：m1=-1，m2=6，

∴点P的坐标为（2，-1）或（2，6）．

②设点P的坐标为（2，n），分两种情况考虑（如图2）：

（i）若CD为边，当四边形CDPQ为平行四边形时，

∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），

∴点Q的坐标为（0+2-1，5+n-0），即（1，5+n）．

∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，

∴5+n=-1+4+5，解得：n=3，

∴点P的坐标为（2，3）；

当四边形CDQP为平行四边形时，

∵点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），

∴点Q的坐标为（1+2-0，0+n-5），即（3，n-5）．

∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，

∴n-5=-9+12+5，解得：n=13，

∴点P的坐标为（2，13）；

（ii）若CD为对角线，∵四边形CPDQ为平行四边形，点C的坐标为（0，5），点D的坐标为（1，0），点P的坐标为（2，n），

∴点Q的坐标为（0+1-2，5+0-n），即（-1，5-n）．

∵点Q在抛物线y=-x2+4x+5上，

∴5-n=-1-4+5，解得：n=5，

∴点P的坐标为（2，5）．

综上所述：点P的坐标为（2，3），（2，5）或（2，13）．