题目内容
【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O是一点,过点B作⊙O的切线,与AC延长线交于点D,连接BC,OE//BC交⊙O于点E,连接BE交AC于点H.
(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)连接OD,若BH=BD=2,求OD的长.
【答案】
(1)
证明:∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∵OE//BC,
∴OE⊥AC,
∴ = ,
∴∠1=∠2,
∴BE平分∠ABC
(2)
解:∵BD是⊙O的切线,
∴∠ABD=90°,
∵∠ACB=90°,BH=BD=2,
∴∠CBD=∠2,
∴∠1=∠2=∠CBD,
∴∠CBD=30°,∠ADB=60°,
∵∠ABD=90°,
∴AB=2 ,OB= ,
∵OD2=OB2+BD2,
∴OD= .
【解析】(1)根据切线的性质得到∠ACB=90°,根据平行线的性质得到OE⊥AC,根据垂径定理即可得到结论;(2)根据切线的性质得到∠ABD=90°,根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠2,解直角三角形即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点,需要掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.
【题目】问题情境
已知矩形的面积为S(S为常数,S>0),当该矩形的长为多少时,它的周长最小?最小值是多少?
数学模型
设该矩形的长为x,周长为y,则y与x的函数关系式为y=2(x+ )(x>0)
探索研究
(1)我们可以借鉴学习函数的经验,先探索函数y=x+ (x>0)的图象性质.
①列表:
x | … | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |||
y | … | m | 2 | … |
表中m=;
②描点:如图所示;
③连线:请在图中画出该函数的图象;
④观察图象,写出两条函数的性质;
(2)解决问题
在求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大(小)值时,除了通过观察图象,还可以通过配方得到.同样通过配方也可以求函数y=x+ (x>0)的最小值.
y=x+ = + = + ﹣2 +2 = +2
∵ ≥0,∴y≥2
∴当 ﹣ =0,即x=1时,y最小值=2
请类比上面配方法,直接写出“问题情境”中的问题答案.
【题目】2015年榕城区从中随机调查了5所初中九年级学生的数学考试成绩,学生的考试成绩情况如表(数学考试满分120分)
分数段 | 频数 | 频率 |
72分以下 | 368 | 0.2 |
72﹣﹣﹣﹣80分 | 460 | 0.25 |
81﹣﹣﹣﹣95分 | ||
96﹣﹣﹣﹣108分 | 184 | 0.2 |
109﹣﹣﹣﹣119分 | ||
120分 | 54 |
(1)这5所初中九年级学生的总人数有多少人?
(2)统计时,老师漏填了表中空白处的数据,请你帮老师填上;
(3)从这5所初中九年级学生中随机抽取一人,恰好是108分以上(不包括108分)的概率是多少?