题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O是一点,过点B作⊙O的切线,与AC延长线交于点D,连接BC,OE//BC交⊙O于点E,连接BE交AC于点H.

(1)求证:BE平分∠ABC;
(2)连接OD,若BH=BD=2,求OD的长.

【答案】
(1)

证明:∵AB为⊙O的直径,

∴∠ACB=90°,

∵OE//BC,

∴OE⊥AC,

=

∴∠1=∠2,

∴BE平分∠ABC


(2)

解:∵BD是⊙O的切线,

∴∠ABD=90°,

∵∠ACB=90°,BH=BD=2,

∴∠CBD=∠2,

∴∠1=∠2=∠CBD,

∴∠CBD=30°,∠ADB=60°,

∵∠ABD=90°,

∴AB=2 ,OB=

∵OD2=OB2+BD2

∴OD=


【解析】(1)根据切线的性质得到∠ACB=90°,根据平行线的性质得到OE⊥AC,根据垂径定理即可得到结论;(2)根据切线的性质得到∠ABD=90°,根据等腰三角形的性质得到∠CBD=∠2,解直角三角形即可得到结论.
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点,需要掌握切线的性质:1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题.

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