Question

【题目】在RtΔABC中，∠BAC=90°，点O是△ABC所在平面内一点，连接OA，延长OA到点E，使得AE=OA，连接OC，过点B作BD与OC平行，并使∠DBC=∠OCB，且BD=OC，连接DE.

(1)如图一，当点O在RtΔABC内部时.

①按题意补全图形；

②猜想DE与BC的数量关系，并证明.

(2)若AB=AC(如图二)，且∠OCB=30°，∠OBC=15°，求∠AED的大小.

Answer 1

【答案】(1)①补全图形，如图一，见解析；②猜想DE=BC. 证明见解析；(2) ∠AED=30°或15°.

【解析】

（1）①根据要求画出图形即可解决问题．

②结论：DE=BC．连接OD交BC于F，连接AF．证明AF为Rt△ABC斜边中线，为△ODE的中位线，即可解决问题．

（2）分两种情形：如图二中，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．证明△BMA≌△BMO（AAS），推出AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，推出∠AMO=120°，即可解决问题．如图三中，当点O在△ABC外部时，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．分别求解即可．

(1)①补全图形，如图一，

②猜想DE=BC.

如图，连接OD交BC于点F，连接AF

在△BDF和△COF中，

∴△BDF≌ΔCOF

∴DF=OF，BF=CF

∴F分别为BC和DO的中点

∵∠BAC=90°，F为BC的中点，

∴AF=BC.

∵OA=AE，F为BC的中点，

∴AF=ED.

∴DE=BC

（2）如图二中，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．

由（1）可知：AF为Rt△ABC斜边中线，为△ODE的中位线，

∵AB=AC，

∴AF垂直平分线段BC，

∴MB=MC，∵∠OCB=30°，∠OBC=15°，

∴∠MBC=∠MCB=30°，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，∠MBO=∠MBA=15°，

∵∠BAM=∠BOM=45°，BM=BM，

∴△BMA≌△BMO（AAS），

∴AM=OM，∠BMO=∠BMA=120°，

∴∠AMO=120°，

∴∠MAO=∠MOA=30°，

∴∠AED=∠MAO=30°．

如图三中，当点O在△ABC外部时，当点O在△ABC内部时，连接OD交BC于F，连接AF，延长CO交AF于M．连接BM．

由∠BOM=∠BAM=45°，可知A，B，M，O四点共圆，

∴∠MAO=∠MBO=30°-15°=15°，

∵DE∥AM，

∴∠AED=∠MAO=15°，

综上所述，满足条件的∠AED的值为15°或30°．