Question

【题目】如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿C→A→B方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．

（1）当t=时，点P与点Q相遇；
（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设△PCQ的面积为S平方单位．
①求S与t之间的函数关系式；
②当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将△ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）7
（2）

解：Q从C到A的时间是2秒，P从B到C的时间是3秒．

则当0≤t≤2时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有：PC=CQ，即3﹣t=2t，解得：t=1s．

当2＜t≤3时，若△PCQ为等腰三角形，则一定有PQ=QC（如图1）．则Q在PC的中垂线上，作QH⊥AC，则QH= PC．△AQH∽△ABC，

∵BC=3，AB=5，QH⊥AC，

∴ = = ，

∴QH= AQ，

在直角△AQH中，AQ=2t﹣4，则QH= AQ= ．

∵PC=BC﹣BP=3﹣t，

∴ （2t﹣4）= （3﹣t），

解得：t= s；

综上所述，t=1s或 s

（3）

解：①连接DC（即AD的折叠线）交PQ于点O，过Q作QE⊥CA于点E，过O作OF⊥CA于点F，

则△PCO即为折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积．

在点Q从点B返回点A的运动过程中，P一定在AC上，则PC=t﹣3，BQ=2t﹣9，即AQ=5﹣（2t﹣9）=14﹣2t．

同（2）可得：△PCQ中，PC边上的高是： （14﹣2t），

故S= （t﹣3）× （14﹣2t）= （﹣t2+10t﹣21）．

②故当t=5时，s有最大值，此时，P在AC的中点．（如图2）．

∵沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，

∴PD一定是AC的中垂线．

则AP= AC=2，PD= BC= ，

AQ=14﹣2t=14﹣2×5=4．

则PC边上的高是： AQ= ×4= ．

∵∠COF=∠CDP=∠B，

所以，在Rt△COF中，tan∠COF= ，设OF为x，

则利用三角函数得CF= ，PF=2﹣ ，

则QE= ，AE= ，

∴PE=AE﹣AP= ，

∵△POF∽△PQE，

∴ = ，

解得：x= ，

S△PCO= ×2× = ．

【解析】解：（1）在直角△ABC中，AC= =4，
则Q从C到B经过的路程是9，需要的时间是4.5秒．此时P运动的路程是4.5，P和Q之间的距离是：3+4+5﹣4.5=7.5．
根据题意得：（t﹣4.5）+2（t﹣4.5）=7.5，解得：t=7s．
【考点精析】利用等腰三角形的性质和勾股定理的概念对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．